三、解答题^

8.设函数y= 的定义域为R，求实数a的取值范围.^

解：此题对任意x∈R都有ax²+4ax+

3≠0，^

①a=0时，上式成立；②a≠0时，要使上式成立只需Δ=(4a)²－4a·3＜0 0＜a＜ .^

综上所述0≤a＜ .^

9.已知函数y= 的值域是{y｜1≤y≤9}，求a、b的值.

解：(y－a)x²+8x+(y－b)=0.

∵x∈R，∴Δ=8²－4(y－a)(y－b)≥0，即y²－(a+b)y+(ab－16)≤0.                   ①^

由已知可知(y－1)(y－9)≤0，即y²－10y+9≤0.                                          ②^

比较①②得

∴a=b=5.^

10.已知函数f(x)=x²－4ax+2a+6(a∈R).

(1)若f(x)的值域为［0，+∞)，求a的值；^(2)若f(x)的值均为非负值，求函数f(a)=2－a|a+3|的值域.^

解：(1)∵值域为［0，+∞)，^

∴Δ=16a²－4(2a+6)=0.^

∴a=－1或a= .^

(2)对一切x∈R，函数值非负，^

∴Δ=16a²－4(2a+6)≤0，即－1≤a≤ .

∵a+3＞0，

∴f(a)=2－a(a+3)=－(a+ )²+ ，a∈［－1， ］.^

∴f( )≤f(a)≤f(－1).

∴－ ≤f(a)≤4.^

∴f(a)的值域为［－ ，4］.^

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没有表达式的函数

表达式只是函数的外在形式，对应才是其本质属性.有些函数(甚至是很著名的函数)根本就没有表达式.

例1          数论中有个极其重要的函数

φ(n)，称为欧拉函数，指的是从1到n之间与n互素的整数的个数.对于每一个正整数n，φ(n)都有唯一确定的值，比如φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，…，但根本无法写出

φ(n)关于n的表达式，但这并不影响这个函数巨大的理论意义和实用价值.

例2  数论中另一个卓越的发现是素数个数的平均分布特性.用π(n)表示小于n的素数的个数，不难理解π(n)是n的函数，但谁也无法给出它的表达式.连伟大的高斯也只是猜想当n增大时，π(n)与 “渐近相等”.直到现在，人们也只是把这一猜想证明完毕，仍没能有更大的作为，但π(n)却发挥着巨大的作用.