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三、复合函数的定义域、值域是疑点
【例3】 已知函数f(x)的值域是［2，5］，求函数g(x)=
 －f(x)的值域.
分析：可用换元法，令  =t，转化为关于t的二次函数求值域.
解：∵2≤f(x)≤5，
∴1≤f(x)－1≤4.
∴1≤  ≤2.
设  =t
(1≤t≤2)，∴f(x)=t2+1.
∴g(x)=－t2+t－1=－(t－  )2－  .
∵1≤t≤2，而g(x)=－t2+t－1在［1，2］上为减函数，
∴－3≤g(x)≤－1.
归纳：本题是运用换元法、配方法，充分利用原自变量的取值，来确定新未知数的取值范围.
【类题演练3】 已知函数f(x)=x+
 的定义域为(0，a］且a＜b，求函数f(x)的值域.
解：令0＜x1＜x2≤a＜b，
则x1－x2＜0且x1x2＜b2，
f(x1)－f(x2)=(x1－x2)(  )＞0，
∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，则f(x)在(0，a］上是减函数.
∴当x=a时，f(x)的最小值为a+  .
∴f(x)≥a+  .
四、备用题
1.设函数f(x)=f(  )lgx+1，则f(10)的值为
A.1
B.－1
C.10
D. 
解析：x用10、
 代换，得
消去f(
 )，得f(10)=1.故选A.
答案：A
归纳：此题是抽象函数求表达式，x用  代，两式联立即可求f(x)的表达式.
2.已知x1、x2是方程x2－(k－2)x+k2+3k+5=0(k∈R)的两个实数根，求x12+x22的最大值.
解：∵Δ=(k－2)2－4(k2+3k+5)≥0，
∴－4≤k≤－  .x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2=(k－2)2－2(k2+3k+5)=－k2－10k－6=－(k+5)2+19.
当k=－4时，(x12+x22)max=18.
归纳：注意方程有两个实根时k的条件和韦达定理的应用.
●解题方法归纳
1.根据给出函数解析式求定义域的基本题型：①y=f(x)(多项式)定义域R.
②y=
 f(x)≠0.③y= 
 f(x)≥0.④y=［f(x)］0  f(x)≠0.⑤y=logφ(x)f(x)
 ⑥y=xα定义域需要讨论.⑦y=
f［φ(x)］复合函数等.常用办法是：(a)利用解不等式(组)、方程的方法求其定义域.(b)利用题设中的实际意义来规定自变量的取值.(c)利用反函数法求定义域，因为y=f(x)与y=f－1(x)定义域与值域互换，也谓“正难则反”的转化思想.(d)复合函数y=f［φ(x)］，先由y=f(u)成立的条件定u的取值范围，再由u的取值范围来确定u=φ(x)中x的取值范围.含有参数函数定义域的求法，采用分类讨论法(对参数实施).
2.求函数值域的常用方法是：观察法、配方法、判别式法、单调性法、反函数法、不等式法、换元法、图象法等.在求函数值域时要根据问题的不同特点，综合而灵活地运用不同方法求之，注重以方法将题进行分类，如：y=
值域的求法是“Δ法”;又如y=x+ 
(x＜0)值域的求法可采用“不等式法”等. | 