●重点、难点、疑点剖析

一、映射定义、函数概念的理解是重点

【例1】 已知y=f(lgx)的定义域是［ ，100］.

(1)求f(x)的定义域；

(2)求f(x²－2)的定义域.

分析：在同一法则“f”下，自变量lgx、x、x²－2的范围是一致的.

解：(1)∵ ≤x≤100，

∴－1≤lgx≤2.

∴f(x)的定义域是［－1，2］.

(2)由－1≤x²－2≤2，得－2≤x≤－1或1≤x≤2.

故f(x²－2)的定义域是［－2，－1］∪［1，2］.

归纳：注意y=f(lgx)、y=f(x)、y=f(x²－2)是三个不同的函数，定义域指函数中自变量x的取值范围.

【类题演练1】 已知函数f(x)的定义域为［a，b］，且a+b＞0，求f(x²)的定义域.

解：根据题意b＞a，且b＞－a，

∴b＞|a|≥0.

由a≤x²≤b，得当a≤0时，x∈［－ ， ］；

当a＞0时，x∈［－ ，－ ］∪［ ， ］.

∴f(x²)的定义域当a≤0时，是［－ ， ］;

当a＞0时，是［－ ，－ ］∪［ ， ］.

二、函数转化为不等式恒成立的问题是难点

【例2】 设f(x)=lg(x²－2x+a)的定义域为R，求a的取值范围；如果f(x)的值域为R，a的范围又如何呢？

分析：定义域为R转化为真数大于0恒成立，值域为R，则x²－2x+a的范围要包含(0，+∞)上所有的值即可，即    Δ≥0.

解：由条件知不等式x²－2x+a＞0的解集是R，则4－4a＜0，

解得a∈(1，+∞).如果值域是R，则真数x²－2x+a必须“取遍”所有正实数，则

4－4a≥0，∴a∈(－∞，1］.

归纳：二次不等式恒成立问题通常利用二次函数图象和判别式通过数形结合的方法来思考.

【类题演练2】 已知函数y= 的定义域为R.

(1)求实数m的取值范围；

(2)当m变化时，若y的最小值为f(m)，求f(m)的值域.

解：(1)mx²－6mx+m+8≥0恒成立，

①m=0时，8>0满足条件；

② 0＜m≤1.∴0≤m≤1.

(2)当m=0时，y=2 ；

当0＜m≤1时，y .

∴y_min= .

∴f(m)= (0≤m≤1).

∴f(m)的值域为［0，2 ］